Mechanik punktartiger Teilchen
Bei gegebener Position $\vec{r}$ [m], Geschwindigkeit $\vec{v}$ [m/s], Beschleunigung $\vec{a}$ [m/s²], oder Kraft $\vec{F}$ [N] als Funktion der Zeit eines Teilchens, müssen Sie in der Lage dazu sein, jede der vier Grössen durch Integrieren oder Ableiten der anderen Grössen zu erhalten.
App: Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $t$.
Differenzialgleichungen
Viele Systeme die sich mit der Zeit verändern, lassen sich als Differenzialgleichungen darstellen. Dies beinhaltet Aktienkurse, Tierpopulationen, Maschinenvibrationen und die Bewegungen eines Teilchens. Dieser Kurs wird sich darauf beschränken die Bewegung von Teilchen in 1, 2 und 3 Dimensionen zu behandeln.
Die Kraft eines solchen Teilchens, welches in einer Dimension bewegt ist, lässt sich durch seinen Ort $x$, seine Geschwindigkeit $v_x$, und die Zeit $t$ beschreiben.
Ist die Kraft eines Teilchens bekannt, lässt sich das Gesetz von Newton als Differenzialgleichung schreiben:
\[ \begin{equation}
\large m\frac{d^2x}{dt^2}=F_x(v_x,x,t).
\end{equation} \]
Mit $F$ der Kraft und $m$ der Masse. Dies lässt sich ebenfalls als zwei Differenzialgleichungen erster Ordnung darstellen,
$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ und $\large \frac{dv_x}{dt}=F(x,v_x,t)/m.$
Bei gegebenen Anfangsbedingungen, kann die Trajektorie des Teilchens durch numerisches Lösen der Differenzialgleichung gefunden werden.
Wenn die Kraft proportional zu $x$ und proportional zu $v_x$ ist, handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung deren Lösung mittels folgender App gefunden werden kann: Analytische Lösung linearer Differenzialgleichungen zweiter Ordnung.
Für eine beliebige Kraft kann die Differenzialgleichung mittels der App für numerische Lösungen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung gelöst werden.
Ein Teilchen, dass sich in 3 Dimensionen bewegt wird durch 6 Variablen beschrieben: $x$, $y$, $z$, $v_x$, $v_y$, und $v_z$. Wenn die Kraft des Objekts in Hinsicht dieser Variablen bekannt ist, kann die Bewegung des Teilchens einfach mittels folgender App gefunden werden:
Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen sechster Ordnung.
Apps: Analytische Lösungen von linearen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung,
Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung,
Numerische Lösungen von Differenzialgleichungen sechster Ordnung.
Parametrisierung
Sie sollten es beherrschen Parameterdarstellungen zu benützen um Kurven darzustellen.
Beispielsweise beschreibt $x=\cos (s)$, $y=\sin (s)$, $s=[0,\pi ]$ einen halben Kreis und $x=2\cos (s)$, $y=3\sin (s)$, $s=[0,2\pi ]$ eine Ellipse. $s$ ist in diesem Fall der Parameter.
Apps: Elektrisches Feld einer gleichmäßig geladenen gekrümmten Linie,
Gesetz von Biot-Savart.
Arbeit und Energie
Geleistete Arbeit ist definiert als,
\[ \begin{equation}
\large W=\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_{x_1}^{x_2} F_xdx+\int\limits_{y_1}^{y_2} F_ydy+\int\limits_{z_1}^{z_2} F_zdz
\end{equation} \]
Dies ist ein Kurvenintegral.
Sie müssen dieses Integral ausführen können, wenn die Kraft als Funktion des Ortes bekannt ist (wie in diesem Beispiel)
oder wenn die Kraft als Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit bekannt und der Ort als Funktion der Zeit gegeben ist (wie in diesem Beispiel).
Sie müssen die Leistung durch Ableiten der Arbeit und die Arbeit durch Integrieren der Leistung erhalten können. Sie müssen wissen was eine konservative Kraft ist und die potentielle Energie einer solchen konservativen Kraft bestimmen können.
Weiters müssen Sie die kinetische Energie eines Teilchens, $E_{kin} = \frac{mv^2}{2}$ finden können. Diese Energie bleibt erhalten.
Die geleistete Arbeit beinhaltet die Änderung der kinetischen plus die Änderung der potentiellen Energie, sowie die Arbeit die benötigt wird um gegen nichtkonservative (reibungsbedingte) Kräfte zu wirken.
Apps: Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $t$,
Numerische Integration und Differentiation von Funktionen in Abhängigkeit von $x$.
Ableitungen von skalaren Feldern und Vektorfeldern
Ein skalares Feld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist. Temperatur, Druck, Dichte, Stoffmengenkonzentration, das elektrostatische Potential, und die Ladungsdichte sind skalare Felder.
Ein Vektorfeld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Vektor zuweist. Elektrische Felder und magnetische Felder sind Vektorfelder. Der Gradient eines skalaren Feldes $\phi$ ist ein Vektorfeld.
Minus der Gradient des Druckes zeigt in die Richtung, in die der Wind bläst (hoher Druck zu niedrigem Druck). Minus der Gradient der Temperatur zeigt in die Richtung, in die Hitze fließt
(hohe Temperatur zu niedriger Temperatur). Minus der Gradient des elektrischen Potentials zeigt in die Richtung des eleketrischen Feldes (von hohem Potential zu niedrigem).
Die Divergenz eines Vektorfelds $\vec{A}$ ist ein skalares Feld. Die Divergenz sagt aus, ob sich die Vektoren in einem Vektorfeld auseinander oder zusammen bewegen.
Stellen Sie sich eine kleine Kugel an einem Punkt im Raum vor. Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach außen zeigen ist die Divergenz positiv.
Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach innen zeigen ist die Divergenz negativ.
Der Rotor eines Vektorfelds beschreibt wie sich die Vektoren um einen bestimmten Punkt drehen.
Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld,
\begin{equation}
\large \nabla \phi = \frac{\partial \phi }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\hat{z}.
\end{equation}
Allgemein hängt das elektrostatische Potential von $x$, $y$, and $z$ ab. Um die partielle Ableitung $\frac{\partial \phi }{\partial x}$ zu bilden, leitet man nach $x$ ab, während $y$ und $z$ wie Konstanten behandelt werden.
Die Divergenz eines Vektorfelds ist ein skalares Feld,
\begin{equation}
\large \nabla \cdot \vec{A} = \left( \frac{\partial }{\partial x}\hat{x} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{y} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}\right)\cdot \vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}.
\end{equation}
Der Rotor eines Vektorfelds ist wieder ein Vektorfeld,
\begin{equation}
\large \nabla\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{z}.
\end{equation}
Elektrostatik
Die Elektrostatik beschreibt die Zusammenhänge zwischen der Ladungsverteilung, dem elektrischen Feld und dem elektrostatischen Potential.
Aus einer gegebenen Ansammlung von Punktladungen, müssen Sie das elektrische Feld und das elektrostatische Potential berechnen können.
Die benötigten Gleichungen finden Sie in der Formelsammlung. Sie können ein App zur Berechnung des elektrischen Felds und des elektrostatischen Potentials einer Ansammlung von Punktladungen benützen.
Superposition ist ein zentrales Konzept im Bereich Elektrizität. Superposition besagt, dass, wenn Sie die elektrischen Felder zweier Ladungsverteilungen kennen, das elektrische Feld der Summe der beiden Ladungsverteilungen die Vektorsumme ihrer beiden elektrischen Felder ist. Das durch zwei Punktladungen verursachte elektrische Feld ist die Vektorsumme der beiden elektrischen Felder, die von den beiden Punktladungen einzeln erzeugt werden. Das von einer Ladungslinie erzeugte elektrische Feld kann bestimmt werden, indem viele Punktladungen in einer Linie angeordnet werden, und das von einer Ladungsebene erzeugte elektrische Feld kann bestimmt werden, indem viele Punktladungen in einer Ebene angeordnet werden.
Betrachtet man sehr viele Punktladungen ist es praktisch die Ladungsdichte $\rho$ [C/m³] zu betrachten um Ladungsverteilungen zu beschreiben.
Die Berechnung in die Richtung $\varphi(\vec{r}) \rightarrow \vec{E}(\vec{r}) \rightarrow \rho(\vec{r})$ ist trivial.
Benützen Sie einfach die Definitionen des Gradienten und der Divergenz, $\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r})$ und $\nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}$.
Die Berechnung in die andere Richtung $\rho(\vec{r}) \rightarrow \vec{E}(\vec{r}) \rightarrow \varphi(\vec{r})$, ist schwieriger, da folgende Integrale gelöst werden müssen,
\[ \begin{equation}
\large \vec{E}(\vec{r})= \int\frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_r \epsilon_0}\frac{\vec{r}}{ |\vec{r}|^3}d^3r \hspace{1cm}\text{[V/m]},
\end{equation} \]
und,
\[ \begin{equation}
\large \varphi (\vec{r})=\int \frac{\rho(\vec{r})}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}|}d^3r\hspace{1cm}\text{[V]}.
\end{equation} \]
Hängt das elektrische Feld oder das elektrostatische Potential nur von einer Variable $x$ ab, können die Integrale numerisch mit der App für numerische Integration gelöst werden: $E(x) =\frac{1}{ \epsilon_r \epsilon_0} \int \rho(x)dx$ und $\varphi (x)=-\int E(x)dx$.
Einige Lösungen in zwei oder drei Dimensionen sind wegen ihrer Symmetrie bekannt: eine unendlich lange, gleichmäßig geladene Linie,
ein unendlich langer, gleichmäßig geladener Zylinder,
ein unendlich langer, gleichmäßig geladener Zylindermantel , eine unendlich große, gleichmäßig geladene Ebene, eine geleichmäßig geladene Kugel,
und eine gleichmäßig geladene Kugelschale. Die benötigten Ausdrücke finden Sie in der Formelsammlung.
Apps: Elektrisches Feld produziert von einer Ansammlung von Punktladungen,
Elektrisches Feld produziert von einer gleichmäßig geladenen gekrümmten Linie ,
Elektrisches Feld erzeugt von einer Ansammlung gleichmäßig geladener paralleler Linien.
Magnetostatik
Die Magnetostatik beschreibt Magnetfelder, welche durch konstante elektrische Ströme erzeugt werden. Ist die Stromverteilung bekannt, kann das magnetische Feld mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart berechnet werden,
\begin{equation}
\large \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.
\end{equation}
Im Allgemeinen muss dieses Integral numerisch berechnet werden, es gibt jedoch zwei Spezialfälle: ein unendlich langes, gerades Kabel und eine Zylinderspule. Die Gleichungen für die beiden Fälle finden Sie in der Formelsammlung.
Ist das Magnetfeld erst bekannt, kann daraus die Kraft auf ein stromführendes Kabel berechnet werden. Diese Kraft berechnet man, indem man die das Lorentzkraftgesetz $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ für jedes Teilchen mit Ladung $q$ und Geschwindigkeit $\vec{v}$, was den Strom ergibt, aufsummiert.
Dies ergibt die Gleichungen für die Kraft auf ein Kabel, wie sie in der Formelsammlung gefunden werden können.
Wenn das Magnetfeld bekannt ist, kann die Stromdichte $\vec{J}$ mittels dem Gesetz von Ampère berechnet werden, $\nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}$. Diese Gleichung kann in eine Form umgeschrieben werden, sodass das Kurvenintegral des Magnetfeldes, entlang einer Schleife $C$ mit dem Strom $I_{enc}$ durch die Schlaufe in Relation gebracht wird,
\begin{equation}
\large \oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}.
\end{equation}
App: Gesetz von Biot-Savart.
Schwingungen
Jede Schwingung, die wir hier betrachten, kann mit Hilfe von Differenzialgleichungen beschrieben werden. Sie sollten fähig sein die jeweiligen Apps zur Lösung von Differenzialgleichungen anzuwenden um Schwingungen zu bestimmen.
Oft ist es hilfreich komplexe Zahlen zu verwenden, um Schwingungen zu beschreiben. Ein Punkt auf einer Kreisbahn in der komplexen Ebene hat einen Realteil der sinusförmige Schwingungen ausführt . Wenn wir nun also eine sinusförmige Schwingung sehen, können wir diese immer mit einer Kreisbewegung in der komplexen Ebene asoziieren.
Mathematisch wird dies durch die Euler-Formel ausgedrückt, $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t)$. Sie müssen wissen, wie man komplexe Zahlen zum Berechnen einer Resonanzkurve verwendet.
Partielle Differenzialgleichungen
Partielle Differenzialgleichungen beinhalten Ableitungen nach dem Ort und der Zeit. Sie beschreiben Phänomene wie beispielsweise das Wetter, welches abhänig von Ort und Zeit ist.
Eine wichtige partielle Differenzialgleichungen, die Sie kennen sollten, ist die Wellengleichung,
\begin{equation}
\large \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}.
\end{equation}
Harmonische Lösungen der Wellengleichung haben die Form, $u=A\cos(kx-\omega t)$. Sie sollten dazu in der Lage sein diese abzuleiten, um $\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}$ und $\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$ zu bestimmen.
Die Superposition von Wellen
Wellen sind abhängig vom Ort und der Zeit. Wenn es mehr als eine Quelle gibt, sollten Sie die beiden Wellen addieren und die entstehende Welle bestimmen können.
Um das zeitabhängige Interferenzmuster zu berechnen, addieren Sie einfach die Realteile, wie es in der folgenden App gemacht wurde: Die Interferenz von Oberflächenwellen.
Das Gesetz von Snell, welches beschreibt wie Lichtstrahlen an Oberflächen gebeugt werden, wurde abgeleitet, indem ebene Wellen addiert wurden.
Um das zeitunabhängige Interferenzmuster zu berechnen, ist es gängig ein komplexes, skalares Feld zu benützen um die Wellen zu beschreiben.
Ein komplexes, skalares Feld weist jedem Punkt im Raum eine komplexe Zahl zu. Der Realteil dieser komplexen Zahl beschreibt die Schwingung an jedem Punkt im Raum.
Die komplexen, skalaren Felder der Wellen aller Quellen werden addiert und die Intensität wird berechnet: $I\propto\mathcal{A}^*\mathcal{A}$, wobei $\mathcal{A}$ die Summe der komplexen Felder ist. Hier sehen Sie, wie das Intensitätsmuster für einen
Spalt,
zwei schmale Spalte,
viele schmale Spalte, und
zwei Spalte mit endlicher Breite berechnet wurden.
Optik
Sie müssen den Pfad, dem ein Lichtstrahl durch ein optisches System aus Linsen und Spiegeln folgt, berechnen können.
Das Gesetz von Snell beschreibt wie Lichstrahlen an Oberflächen gebeugt werden. Die für dünne Linsen beschreibt, wie Licht an dünnen Linsen gebeugt wird.
Apps: Brechung,
Brechnung an kugelförmigen Oberflächen (1),
Brechnung an kugelförmigen Oberflächen (2),
Reelle und virtuelle Bilder,
Dünne Linsen Gleichung,
Dicke Linsen,
Optische Instrumente,
Strahlenverfolgung mit der Transfermatrixmethode.
